Question

如图1，在△ABC中AB⊥AC、AD⊥BC，D是垂足，则AB²=BD•BC（射影定理）．类似的有命题：在三棱锥A-BCD（图2）中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD内，则（S_△ABC）²=S_△BCO•S_△BCD（S表示面积．上述命题（　　）

A．是真命题

B．是假命题

C．增加条件“AB⊥AC”才是真命题

D．增加条件“A-BCD是正三棱锥”才是真命题

Answer 1

分析：通过连接DO，据BC⊥AO，BC⊥AD得到BC⊥面ADE，得到BC⊥ED得到满足平面条件的三角形AED，利用平面三角形的性质得证．

解答：解：命题是一个真命题．
在图（2）中，连接DO，并延长交BC于E，连接AE，则有OE⊥BC．
因为AO⊥面ABC，所以AO⊥AE．
又AO⊥DE，所以AE²=EO•ED．
于是S△ABC2=(

1

2

BC•AE)2(

1

2

BC•EO)•(

1

2

BC•ED)=S_△BCO•S_△BCD．
故有S_△ABC²=S_△BCO•S_{△BCD．
故选A}．

点评：本题考查类比推理及利用平面的性质证明空间的结论．考查空间想象能力，难度较大．