Question

（本小题满分12分）东北大学软件园新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0．5慧币，以后每一关比前一关奖励翻一翻（即增加1倍），游戏规定：闯关者须在闯关前任选一种奖励方案．

（Ⅰ）设闯过n关后三种奖励方案获得的货币依次为试分别求出的表达式；

（Ⅱ）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应该如何选择奖励方案．

 

Answer 1

（Ⅰ），，；

（Ⅱ）当时选择第一种方案，当时选择第三种方案．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）据题意，第一种奖励方案构成首项为40常数列；第二种奖励方案构成首项为4，公差为4的等差数列；第三种奖励方案构成首项为，公比为的等比数列；正确应用等差、等比数列的前n项和公式不难得出所求；（Ⅱ）首先令，得出三种奖励方案的最高奖额，然后根据所得大小关系列出不等式并解出相关的取值范围，得出具体选择方案．

试题解析：（Ⅰ）据题意，第一种奖励方案是首项为40的常数列，所以；

第二种奖励方案构成首项为4，公差为4的等差数列,所以由等差数列的前项和公式得：

；

第三种奖励方案构成首项为，公比为的等比数列，所以由等比数列的前项和公式得：

；

（Ⅱ）令则，，，

由，

，

所以在12关内，第二种方案没有选择的价值，能过10关及以上选第三种方案，否则选第一种方案，

即当时选择第一种方案，当时选择第三种方案．

考点：①等差、等比数列的定义和前和公式；②数列知识在解决实际问题中的运用；③不等式在方案决策中的应用．