Question

5．下列不等式一定成立的是（　　）
①lg（x²+$\frac{1}{4}$）≥lg x（x＞0）；　②sin x+$\frac{1}{sinx}$≥2（x≠kπ，k∈Z）；
③x²+1≥2|x|（x∈R）；　　④$\frac{1}{{x}^{2}+1}$＞1（x∈R）．

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ②④

Answer 1

分析 由基本不等式求最值的规则，逐个选项验证可得．

解答 解：①当x＞0时，由基本不等式可得x²+$\frac{1}{4}$≥2•x•$\frac{1}{2}$=x，
∴lg（x²+$\frac{1}{4}$）≥lgx，当且仅当x=$\frac{1}{2}$时取等号，故正确；
②sinx可以为负值，故sinx+$\frac{1}{sinx}$≥2错误；
③由基本不等式可得x²+1=|x|²+1≥2|x|，当且仅当|x|=1时取等号，故正确；
④举反例，当x=0时，可得$\frac{1}{{x}^{2}+1}$=1，故错误．
故选：C．

点评 本题考查基本不等式求最值，属基础题．