Question

15．（1）由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB=60°，求动点P的轨迹方程
（2）已知圆x²+y²-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P、Q两点，定点R（1，1），若PR⊥QR，求m的值．

Answer 1

分析 （1）设动点P的坐标为（x，y），依题意有|PO|=$\frac{r}{sin30°}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立方程组消y并整理可得关于x的二次方程，由韦达定理可得x₁+x₂和x₁x₂的值，再由点P，Q在直线x+2y-6=0上，可得y₁y₂，y₁+y₂，而由PR⊥QR可得$\overrightarrow{PR}$•$\overrightarrow{QR}$=0，代入数据可得关于m的方程，解之可得．

解答 解：（1）设动点P的坐标为（x，y），依题意有|PO|=$\frac{r}{sin30°}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，
∴x²+y²=4，即所求的轨迹方程为x²+y²=4．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立方程组，
消y并整理可得x²+$\frac{4}{5}$m-12=0，
由韦达定理可得x₁+x₂=0，x₁x₂=$\frac{4}{5}$m-12，
又点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在直线x+2y-6=0上，
∴y₁y₂=9+$\frac{1}{4}$x₁x₂，y₁+y₂=6，
又∵R（1，1），∴$\overrightarrow{PR}$=（1-x₁，1-y₁），$\overrightarrow{QR}$=（1-x₂，1-y₂）
由PR⊥QR可得$\overrightarrow{PR}$•$\overrightarrow{QR}$=（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-1）（y₂-1）=0
即x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0，
代入数据可得$\frac{1}{4}$（$\frac{4}{5}$m-12）+1=0，解得m=10．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，涉及向量的数量积的应用，属中档题．