Question

20．设等差数列{a_n}的各项均不为0，其前n项和为S_n，a_n²=S_2n-1．
（1）求a_n，S_n；
（2）设b_n=S_n-1，令T_n=$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$，求T_n的值．

Answer 1

分析 （1）由题意和等差数列的性质可得a_n=2n-1，可得S_n；
（2）由（1）可得b_n=n²-1，可得$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），裂项相消可得．

解答 解：（1）由等差数列的性质可得a_n²=S_2n-1=（2n-1）a_n，
∵等差数列{a_n}的各项均不为0，∴a_n=2n-1，
∴S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²；
（2）由（1）可得b_n=S_n-1=n²-1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（n-1）（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{3{n}^{2}-n+2}{4{n}^{2}+4n}$

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及裂项相消法求和，属中档题．