Question

5．求$\sqrt{{x}^{2}+2x+5}$-$\sqrt{{x}^{2}+6x+25}$的值域．

Answer 1

分析 y可以看作点P（x，0）到A（-1，2）和B（-3，4）两点的距离之差|PA|-|PB|，数形结合可得．

解答 解：化简可得y=$\sqrt{（x+1）^{2}+（2-0）^{2}}$-$\sqrt{（x+3）^{2}+（4-0）^{2}}$，
y可以看作点P（x，0）到A（-1，2）和B（-3，4）两点的距离之差|PA|-|PB|，
由三角形两边之差小于第三边可得|PB|-|PA|＜|AB|，
当且仅当PAB共线时，|PB|-|PA|=|AB|=$\sqrt{（-1+3）^{2}+（2-4）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴|PB|-|PA|≤2$\sqrt{2}$，∴|PA|-|PB|≥-2$\sqrt{2}$，
当P向x轴的负向无限接近时，|PA|-|PB|趋向于2，
∴函数的值域为[-2$\sqrt{2}$，2）

点评 本题考查函数的值域，数形结合是解决问题的关键，属中档题．