Question

13．某校高一（1）班的课外生物研究小组通过互联网上获知，某种珍稀植物的种子在一定条件下发芽成功率为$\frac{1}{3}$，小组依据网上介绍的方法分小组进行验证性实验（每次实验相互独立）．
（1）第一小组做了5种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求5次实验至少有3次成功的概率；
（2）第二小组在老师带领下做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中，种子发芽成功则停止实验，否则将继续进行下去，直到种子发芽成功为止，而该小组能提供实验的种子只有n颗（n≥5，n∈N⁺），求第二个小组所做的实验次数ξ的概率分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由题设可知这5次实验即为5次独立重复试验，由此能求出至少3次成功的概率．
（2）由题意得ξ的可能取值为1，2，3，…，n，分别求出相应的概率，由此求出实验次数ξ的概率分布列和Eξ，结构错位相减求和法能求出数学期望．

解答 解：（1）由题设可知这5次实验即为5次独立重复试验，则至少3次成功的概率：
p=${C}_{5}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（1-\frac{1}{3}）^{2}$+${C}_{5}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}（1-\frac{1}{3}）$+${C}_{5}^{5}（\frac{1}{3}）^{5}$=$\frac{17}{81}$．
（2）由题意得ξ的可能取值为1，2，3，…，n，

ξ	1	2	3	4	…	n-1	n
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$	（$\frac{2}{3}$）2×$\frac{1}{3}$	（$\frac{2}{3}$）3×$\frac{1}{3}$	…	$（\frac{2}{3}）^{n-2}×\frac{1}{3}$	$（\frac{2}{3}）^{n-1}$

Eξ=$1×\frac{1}{3}+2×\frac{2}{3}+3×（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{1}{3}+…+$$（n-1）×（\frac{2}{3}）^{n-2}×\frac{1}{3}+n×（\frac{2}{3}）^{n-1}$
=$\frac{1}{3}[1+2×\frac{2}{3}+3×（\frac{2}{3}）^{2}+…+（n-1）×（{\frac{2}{3}）}^{n-2}]$+$n×（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
令S_n=1+2×$\frac{2}{3}$+3×$（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$（n-1）×（\frac{2}{3}）^{n-2}$，
则$\frac{2}{3}{S}_{n}$=$1×\frac{2}{3}+2×（\frac{2}{3}）^{2}+…+（n-2）×（\frac{2}{3}）^{n-2}$+$（n-1）×（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
两式相减，得：
$\frac{1}{3}{S}_{n}$=$1+\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}+…+（\frac{2}{3}）^{n-2}$-（n-1）×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$
=$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n-1}}{1-\frac{2}{3}}$-（n-1）（$\frac{2}{3}$）^n-1
=3-（n+2）（$\frac{2}{3}$）^n-1，
∴${S}_{n}=9-3（n+2）•{（\frac{2}{3}）}^{n-1}$．
∴Eξ=$\frac{1}{3}{S}_{n}+n（\frac{2}{3}）^{n-1}$=3-（n+2）$（\frac{2}{3}）^{n-1}$+n（$\frac{2}{3}$）^n-1=3-2（$\frac{2}{3}$）^n-1．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，难度大，综合性强，对数学思维能力要求高，解题时要注意错位相减法的合理运用．