Question

20．四边形ABCD为矩形，AB=2，AD=1，$\overrightarrow{DE}$=$λ\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BF}$=μ$\overrightarrow{BC}$（0≤λ，μ≤1）．若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=2，则$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}$，根据数量级列出方程得出λ，μ的关系，利用基本不等式解出最小值．

解答 解：$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AD}$．
∵$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AD}$，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=0$．
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AD}$）=λ${\overrightarrow{AB}}^{2}$+μ${\overrightarrow{AD}}^{2}$=2．
∴4λ+μ=2．
∴$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$=$\frac{2λ+\frac{1}{2}μ}{λ}+\frac{2λ+\frac{1}{2}μ}{μ}$=$\frac{5}{2}$+$\frac{μ}{2λ}+\frac{2λ}{μ}$≥$\frac{5}{2}$+2=$\frac{9}{2}$．
当且仅当$\frac{μ}{2λ}=\frac{2λ}{μ}$即μ=2λ时取等号．
故答案为$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，数量级运算，基本不等式的应用，属于中档题．