Question

10．已知数列{a_n}满足a_n+a_n-1=n（-1）${\;}^{\frac{n（n+1）}{2}}$，S_n是其前n项和，若S₂₀₁₇=-1007-b，且a₁b＞0，则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{b}$的最小值为（　　）

• A． 3-2$\sqrt{2}$
• B． 3
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 3$+2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由已知递推式得到：a₃+a₂=3，a₅+a₄=-5，…a₂₀₁₇+a₂₀₁₆=-2017，累加可求S₂₀₁₇-a₁，结合S₂₀₁₇=-1007-b，求得a₁+b=1，代入$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{b}$，展开后利用基本不等式求最值．

解答 解：由已知得：a₃+a₂=3，a₅+a₄=-5，…a₂₀₁₇+a₂₀₁₆=-2017，
把以上各式相加得：S₂₀₁₇-a₁=-1008，
即：a₁-1008=-1007-b，
∴a₁+b=1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{b}$=$\frac{{a}_{1}+b}{{a}_{1}}$+$\frac{{2（a}_{1}+b）}{b}$=3+$\frac{b}{{a}_{1}}$+2$\frac{{a}_{1}}{b}$≥3+2$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题考查了数列递推式，以及累加法求数列的和，训练了利用基本不等式求最值．