Question

1．已知在双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$中，F₁，F₂分别是左右焦点，A₁，A₂，B₁，B₂分别为双曲线的实轴与虚轴端点，若以A₁A₂为直径的圆总在菱形F₁B₁F₂B₂的内部，则此双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$离心率的取值范围是（　　）

• A． $（1，\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}）$
• B． [$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）
• C． $（1，\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}）$
• D． $（\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}，+∞）$

Answer 1

分析 求出圆的半径，若以A₁A₂为直径的圆总在菱形F₁B₁F₂B₂的内部，等价为圆心O到直线B₁F₂的距离d≥a，解不等式即可．

解答 解：双曲线F₁（-c，0），F₂（c，0），B₁（0，b），B₂（0，-b），
则圆的半径为a，
若以A₁A₂为直径的圆总在菱形F₁B₁F₂B₂的内部，
则圆心O到直线B₁F₂的距离d≥a，
直线B₁F₂的方程：$\frac{x}{c}$+$\frac{y}{b}$=1，即bx+cy-bc=0，
则d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}≥a$，
即b²c²≥a²（b²+c²），
即（c²-a²）c²≥a²（2c²-a²），
即c⁴-3a²c²+a⁴≥0，
即e⁴-3e²+1≥0，
即e²≥$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$或e²≤$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$（舍），
即e²≥$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$=（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）²，
则e≥$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故选：B

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件转化为圆心O到直线B₁F₂的距离d≥c是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．