Question

6．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线D：y²=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为$\sqrt{3}$
（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程；
（Ⅱ）求p的值．

Answer 1

分析 （1）求出双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的渐近线方程与抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程，结合双曲线的离心率，即可求出双曲线的渐近线方程，
（2）联立方程求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为$\sqrt{3}$，列出方程，由此方程求出p的值．

解答 解：（1）∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
∴双曲线的渐近线方程是y=±$\frac{b}{a}$x
又抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程是x=-$\frac{p}{2}$，
故A，B两点的纵坐标分别是y=±$\frac{pb}{2a}$，
又由双曲线的离心率为2，所以$\frac{c}{a}=2$，则$\frac{b}{a}=\sqrt{3}$，
即双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x．
（2）∵抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程是x=-$\frac{p}{2}$，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{x=-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{p}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}p}{2}}\end{array}\right.$，即A（-$\frac{p}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}p}{2}$），同理B（-$\frac{p}{2}$，$\frac{\sqrt{3}p}{2}$），
则|AB|=$\sqrt{3}$p，
又△AOB的面积为$\sqrt{3}$，x轴是角AOB的角平分线
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}p$×$\frac{p}{2}$=$\sqrt{3}$，得p=2．

点评 本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量．