Question

14．已知双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，抛物线C₂的顶点在原点，对称轴为x轴，它的准线过双曲线C₁的左焦点F₁，若双曲线C₁与抛物线C₂的交点P满足PF₂⊥F₁F₂，双曲线C₁的一个焦点到其渐近线距离的平方是2+2$\sqrt{2}$，则抛物线C₂的方程是y²=4（$\sqrt{2}$+1）x．

Answer 1

分析 根据抛物线和双曲线的位置关系求出抛物线的焦点和方程，根据条件建立方程组关系求出c即可得到结论．

解答 解：∵抛物线C₂的顶点在原点，对称轴为x轴，它的准线过双曲线C₁的左焦点F₁，
∴抛物线的焦点坐标为（c，0），则抛物线方程为y²=4cx，
若双曲线C₁与抛物线C₂的交点P满足PF₂⊥F₁F₂，
则P点的横坐标为x=c，则y²=4c•c，则y=±2c，不妨设P（c，2c），
则PF₂=2c，F₁F₂=2c，则PF₁=2$\sqrt{2}$c，
∵PF₁-PF₂=2a，
∴2$\sqrt{2}$c-2c=2a，
则（$\sqrt{2}$-1）c=a，①
双曲线的焦点F₂（c，0）到渐近线y=$\frac{b}{a}$x，即bx-ay=0的距离d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b，
∵双曲线C₁的一个焦点到其渐近线距离的平方是2+2$\sqrt{2}$，
∴b²=2+2$\sqrt{2}$，②
联立①②得c=$\sqrt{2}$+1，
则抛物线的方程为y²=4（$\sqrt{2}$+1）x，
故答案为：y²=4（$\sqrt{2}$+1）x

点评 本题主要考查抛物线和双曲线的方程和性质，根据条件建立方程组关系求出c的值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．