Question

11．将半径都为1的4个彼此相切的钢球完全装入形状为正三棱台的容器里，该正三棱台的高的最小值为（　　）

• A． $\frac{2+2\sqrt{6}}{3}$
• B． 1+$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
• C． 2+$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
• D． 3+$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小，把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，且小正四面体的中心和正三棱台的中心应该是重合的，求出小正四面体的中心到底面的距离即可．

解答 解：由题意知，底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小．
于是把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
三棱台的高=小正四面体的高+2个钢球的半径，即三棱台的高为：$\frac{2\sqrt{6}}{3}$+2．
故选：C．

点评 本题考查了棱台的结构特征．三棱台的高=小正四面体的高+2个钢球的半径是解题的难点．