Question

20．已知O是△ABC所在平面上的一点，若$\overrightarrow{PO}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）（其中P为平面上任意一点），则O点是△ABC的（　　）

• A． 外心
• B． 内心
• C． 重心
• D． 垂心

Answer 1

分析 将$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OC}$带入$\overrightarrow{PO}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$化简即可得出$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OC}$，可取AB的中点D，然后连接OD，从而可得到$2\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OC}$，从而可得出点D，O，C三点共线，且O点在D，C点之间，|OC|=2|OD|，从而便得出O点为△ABC的重心．

解答 解：由$\overrightarrow{PO}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$得，$\overrightarrow{PO}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OC}）$=$\overrightarrow{PO}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$；
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$；
即$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OC}$，取AB中点D，连接OD，如图所示，则：
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OC}$；
∴D，O，C三点共线，且|OC|=2|OD|；
∴O点为△ABC的重心．
故选C．

点评 考查向量加法的几何意义，以及向量的数乘运算，向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，以及向量数乘的几何意义，三角形重心的概念及性质．