Question

12．已知正项等比数列{a_n}满足log₂a_n+2-log₂a_n=2，且a₃=8，若数列{b_n}满足b₁=1，b_n•b_n+1=a_n，则b₁₁+b₁₂=96．

Answer 1

分析 设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，由log₂a_n+2-log₂a_n=2，可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2²=q²，解得q=2．由于a₃=8，可得a_n=${a}_{3}•{q}^{n-3}$．可得b₂=2．n≥2时，$\frac{{b}_{n}{b}_{n+1}}{{b}_{n-1}{b}_{n}}$=2，可得b_n+1=2b_n-1，因此数列{b_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2，即可得出．

解答 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，
由log₂a_n+2-log₂a_n=2，∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2²=4=q²，解得q=2．
∵a₃=8，∴a_n=${a}_{3}•{q}^{n-3}$=8×2^n-3=2ⁿ．
∴b_n•b_n+1=a_n=2ⁿ．
∴b₂=2．
∴n≥2时，$\frac{{b}_{n}{b}_{n+1}}{{b}_{n-1}{b}_{n}}$=2，可得b_n+1=2b_n-1，
∴数列{b_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2，
则b₁₁=1×2⁵=32，b₁₂=2×2⁵=64，则b₁₁+b₁₂=96．
故答案为：96．

点评 本题考查了等比数的通项公式、对数的运算性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．