Question

2．设a、b、c∈（0，+∞），且acos²θ+bsin²θ＜c，求证：$\sqrt{a}$cos²θ+$\sqrt{b}$sin²θ＜$\sqrt{c}$．

Answer 1

分析 通过柯西不等式构造不等式，利用平方关系直接证明即可．

解答 证明：由柯西不等式，得：$\sqrt{a}$cos²θ+$\sqrt{b}$sin²θ＜$[{（\sqrt{a}cosθ）^{2}+（\sqrt{b}sinθ）^{2}]}^{\frac{1}{2}}$•$（co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ）^{\frac{1}{2}}$，
由平方关系，可知$\sqrt{a}$cos²θ+$\sqrt{b}$sin²θ＜$[{（\sqrt{a}cosθ）^{2}+（\sqrt{b}sinθ）^{2}]}^{\frac{1}{2}}$，
又∵acos²θ+bsin²θ＜c，
∴$\sqrt{a}$cos²θ+$\sqrt{b}$sin²θ＜$\sqrt{c}$．

点评 本题考查柯西不等式，考查综合法，注意解题方法的积累，属于中档题．