Question

17．双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$两条渐近线l₁、l₂与抛物线y²=-4x的准线l围成区域Ω（包含边界），对于区域Ω内任一点（x，y），若$\frac{y+1}{x+3}$的最大值小于1，则双曲线C的离心率e的取值范围为（1，$\sqrt{10}$）．

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，画出区域Ω，利用$\frac{y+1}{x+3}$的几何意义是点（x，y）与点P（-3，-1）的斜率，结合图象，连接PA，可得斜率最大，再由双曲线的a，b，c关系和离心率公式计算即可得到所求范围．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
抛物线y²=-4x的准线1：x=1，
渐近线l₁，l₂与抛物线y²=-4x的准线1围成区域Ω，如图，
k=$\frac{y+1}{x+3}$的几何意义是点（x，y）与点P（-3，-1）的斜率，
求得A（1，$\frac{b}{a}$），B（1，-$\frac{b}{a}$），
连接PA，可得斜率最大为k=$\frac{\frac{b}{a}+1}{4}$，
由题意可得$\frac{\frac{b}{a}+1}{4}$＜1，
可得$\frac{b}{a}$＜3，即3a＞b，9a²＞b²=c²-a²，
即c²＜10a²，即有c＜$\sqrt{10}$a．
可得1＜e＜$\sqrt{10}$．
故答案为：（1，$\sqrt{10}$）．

点评 本题考查双曲线和抛物线的性质，考查双曲线的离心率的范围，注意运用数形结合的思想方法，考查直线的斜率的范围，属于中档题．