Question

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin（B+A）+sin（B-A）=3sin2A，且c=$\sqrt{7}$，C=$\frac{π}{3}$，则△ABC的面积是$\frac{3\sqrt{3}}{4}$或$\frac{7\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 由题意化简三角函数式可得cosA（sinB-3sinA）=0，分别就cosA=0或sinB-3sinA=0结合三角形的面积公式可得．

解答 解：∵在△ABC中sin（B+A）+sin（B-A）=3sin2A，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA，
∴2sinBcosA=6sinAcosA，故cosA（sinB-3sinA）=0，
当cosA=0时，A=$\frac{π}{2}$，由c=$\sqrt{7}$，C=$\frac{π}{3}$可得b=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，故面积S=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{7\sqrt{3}}{6}$；
当sinB-3sinA=0时，由正弦定理可得b=3a，再由c=$\sqrt{7}$，C=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得7=a²+9a²-2•a•3a•$\frac{1}{2}$，解得a=1，故b=3，面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{4}$或$\frac{7\sqrt{3}}{6}$

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及分类讨论的思想和三角函数公式，属中档题．