Question

20．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$x，则其离心率为$\frac{\sqrt{6}}{2}$；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

Answer 1

分析 根据双曲线渐近线和a，b的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小，利用待定系数法求λ，即可得到结论．

解答 解：∵双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=e²-1=$\frac{2}{4}$，
则e²=$\frac{6}{4}$，则e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=λ，λ＞0，
∵若点（4，2）在C上，
∴λ=$\frac{{4}^{2}}{2}-{2}^{2}$=8-4=4，
即双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=4，
即  $\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$  $\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$

点评 本题主要考查双曲线方程和性质，利用待定系数法建立方程关系是解决本题的关键．