Question

5．若△ABC是半径为$\sqrt{5}$的圆O的内接三角形，3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$为（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． 6
• D． -6

Answer 1

分析 把已知向量等式3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$变形，两边平方后可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，再由$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OC}$•（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$），展开后得答案．

解答 解：∵3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴5$\overrightarrow{OC}$=-（3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$），
∴$（5\overrightarrow{OC}）^{2}=（3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}）^{2}$，
即$25×5=9×5+16×5+24\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
则$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OC}$•（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）=-$\frac{1}{5}$（3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）
=$\frac{3}{5}{\overrightarrow{OA}}^{2}-\frac{4}{5}{\overrightarrow{OB}}^{2}=3-4=-1$．
故选：B．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，解答此题的关键是把已知的向量等式变形，是中档题．