Question

20．已知a₁=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3}$），a₂=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），a₃=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），a₄=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$），…，以此类推a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀₈的值为$\frac{504}{2017}$．

Answer 1

分析 由题意可得a_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），即可求出a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀₈的和．

解答 解：a₁=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3}$），
a₂=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），
a₃=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），
a₄=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$），
…，
可以归纳a_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀₈=$\frac{1}{4}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）+…+（$\frac{1}{2×1008-1}$-$\frac{1}{2×1008+1}$）]=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2017}$）=$\frac{504}{2017}$；
故答案为：$\frac{504}{2017}$

点评 本题考查了归纳推理的问题，关键是找出通项公式，属于中档题．