Question

15．已知F₁、F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点．若直线l：x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$上存在点P，使得线段PF₂的中垂线与x轴交点在椭圆内部，则椭圆C离心率的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，$\sqrt{2}$-1）
• C． （$\sqrt{2}$-1，1）
• D． （2-$\sqrt{2}$，1）

Answer 1

分析 通过设P（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，m），利用中点坐标公式可得PF₂中点Q的坐标，利用互相垂直的两条直线之间的斜率关系可知线段PF₂的中垂线的斜率，进而可得中垂线方程，进而令y=0可知中垂线与x轴交点横坐标，利用其＞-a计算即得结论．

解答 解：依题意，F₂（c，0），
设P（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，m），则线段PF₂中点Q（$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{2c}$，$\frac{1}{2}$m），
当m≠0时，直线PF₂的斜率k=$\frac{0-m}{c+\frac{{a}^{2}}{c}}$=-$\frac{cm}{{c}^{2}+{a}^{2}}$，
故线段PF₂的中垂线的斜率为$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{cm}$，
中垂线方程为：y-$\frac{1}{2}$m=$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{cm}$（x-$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{2c}$），
令y=0，得x=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{2c}$-$\frac{c{m}^{2}}{2（{c}^{2}+{a}^{2}）}$＞-a，
整理得：$\frac{c{m}^{2}}{2（{c}^{2}+{a}^{2}）}$＜$\frac{{c}^{2}+2ac-{a}^{2}}{2c}$，
从而c²-a²+2ac＞0，
两边同时除以a²，得：e²-1+2e＞0，
整理得：（e+1）²＞2，
解得：e＜-$\sqrt{2}$-1（舍）或e＞$\sqrt{2}$-1，
又∵0＜e＜1，
∴$\sqrt{2}$-1＜e＜1，
故选：C．

点评 本题考查椭圆的简单性质，涉及直线的点斜式方程、中点坐标公式、中垂线、不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．