Question

6．已知点F₁，F₂分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过F₂且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{N{F}_{1}}$＞0，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$+1）
• B． （1，$\sqrt{2}$+1）
• C． （1，$\sqrt{3}$）
• D． $（{\sqrt{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 求出交点M，N的坐标，若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{N{F}_{1}}$＞0，则只要∠MF₁F₂＜45°即可，利用斜率公式进行求解即可．

解答 解：当x=c时，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
则y²=$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$，则y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
则M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），N（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），F₁（-c，0），
若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{N{F}_{1}}$＞0，
则只要∠MF₁F₂＜45°即可，
则tan∠MF₁F₂＜tan45°=1，
即$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{2c}$=$\frac{{b}^{2}}{2ac}$＜1，即b²＜2ac，
则c²-a²＜2ac，
即c²-2ac-a²＜0，
则e²-2e-1＜0，
得1-$\sqrt{2}$＜e＜1+$\sqrt{2}$，
∵e＞1，
∴1＜e＜1+$\sqrt{2}$，
故选：B

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据向量数量积的关系转化为求∠MF₁F₂＜45°是解决本题的关键．考查学生的转化能力．