Question

1．已知实数1，m，4构成一个等比数列，则圆锥曲线$\frac{{x}^{2}}{m}$+y²=1的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 根据等比数列的定义求出m的值，结合双曲线和椭圆的性质进行求解即可．

解答 解：∵数1，m，4构成一个等比数列，
∴m²=4，即m=2或-2，
若m=2，则曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，此时为椭圆，则a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1．则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
若m=-2，则曲线方程为-$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，此时为双曲线，则a=1，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{3}$．则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
指数曲线的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{3}$，
故选：C

点评 本题主要考查离心率的计算，根据条件求出m的值，结合椭圆和双曲线离心率的定义分别进行求解是解决本题的关键．