Question

11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sinA+2sinB=（$\sqrt{3}$+1）sin（A+B），c=2．
（1）求△ABC的周长；
（2）若△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求C．

Answer 1

分析 （1）由2sinA+2sinB=（$\sqrt{3}$+1）sin（A+B），可得2a+2b=$（\sqrt{3}+1）$c，又c=2，即可得出．
（2）由c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2abcosC=2²，可得ab=$\frac{\sqrt{3}}{1+cosC}$．又$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入化简即可得出．

解答 解：（1）∵2sinA+2sinB=（$\sqrt{3}$+1）sin（A+B），∴2a+2b=$（\sqrt{3}+1）$c，又c=2，
∴a+b=$\sqrt{3}$+1．
∴△ABC的周长=a+b+c=$\sqrt{3}$+3．
（2）∵c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2abcosC=2²，
∴ab=$\frac{\sqrt{3}}{1+cosC}$．
∵$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{\sqrt{3}}{1+cosC}$sinC=$\sqrt{3}$，
∴sinC=1+cosC，
又sin²C+cos²C=1，
∴（1+cosC）²+cos²C=1，
cos²C+cosC=0，
∵C∈（0，π），
∴$C=\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用、三角形面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．