Question

6．已知2sinα=1+cosα，则tan$\frac{α}{2}$=$±\frac{1}{2}$或无解．

Answer 1

分析 将已知等式两边平方整理可得：5cos²α+2cosα-3=0，解得cosα的值，分类讨论：当cosα=1时，tan$\frac{α}{2}$无解；当cosα=$\frac{3}{5}$时，由同角三角函数基本关系式解得tan$\frac{α}{2}$=$±\frac{1}{2}$．

解答 解：∵2sinα=1+cosα，
∴两边平方，整理可得：5cos²α+2cosα-3=0，
∴解得：cosα=-1，或$\frac{3}{5}$，
∴当cosα=1时，α=2kπ+π，k∈Z，解得：$\frac{α}{2}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，则tan$\frac{α}{2}$无解；
当cosα=$\frac{3}{5}$时，有，cosα=$\frac{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{3}{5}$，解得：tan$\frac{α}{2}$=$±\frac{1}{2}$．
故答案为：$±\frac{1}{2}$或无解．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，一元二次方程的解法及应用，考查了计算能力和分类讨论思想，属于中档题．