Question

15．在△ABC中，a=2，A=$\frac{π}{4}$，若此三角形有两解，则b的取值范围是（2，2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 利用正弦定理和b和sinB求得b和sinB的关系，利用A求得B+C；要使三角形两个这两个值互补先看若B≤$\frac{π}{4}$，则和B互补的角大于$\frac{3π}{4}$进而推断出A+B＞π与三角形内角和矛盾；进而可推断出$\frac{π}{4}$＜B＜$\frac{3π}{4}$若B=$\frac{π}{2}$，这样补角也是$\frac{π}{2}$，一解不符合题意进而可推断出sinB的范围，利用sinB和b的关系求得b的范围．

解答 解：∵a=2，A=$\frac{π}{4}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=2\sqrt{2}$，解得b=2$\sqrt{2}$sinB，
∵B+C=π-$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，由B有两个值，则这两个值互补，
若B≤$\frac{π}{4}$，
则和B互补的角大于$\frac{3π}{4}$，这样A+B＞π，不成立，
∴$\frac{π}{4}$＜B＜$\frac{3π}{4}$，
又若B=$\frac{π}{2}$，这样补角也是$\frac{π}{2}$，一解，
所以$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sinB＜1，
b=2$\sqrt{2}$sinB，
所以2＜b＜2$\sqrt{2}$．
故答案为：（2，2$\sqrt{2}$）．

点评 本题主要考查了正弦定理的应用，解三角形与不等式的综合，考查了学生综合分析问题和基本的运算能力，属于中档题．