Question

5．已知F₁是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点B的坐标为（0，b），直线F₁B与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，若4$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=$\overrightarrow{QP}$，则双曲线C的离心率为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 求出P，Q的坐标，利用$\overrightarrow{QP}$=4$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，建立方程向量坐标关系，进行求解即可求出双曲线C的离心率．

解答 解：直线PQ经过B（0，b），F₁（-c，0），则k_PQ=$\frac{b}{c}$．
∴直线PQ为：y=$\frac{b}{c}$（x+c），与y=$\frac{b}{a}$x．联立得：Q（$\frac{ac}{c-a}$，$\frac{bc}{c-a}$）；
与y=-$\frac{b}{a}$x．联立得：P（-$\frac{ac}{c+a}$，$\frac{bc}{c+a}$）．
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-c+$\frac{ac}{c+a}$，-$\frac{bc}{a+c}$），$\overrightarrow{QP}$=（-$\frac{ac}{c+a}$-$\frac{ac}{c-a}$，$\frac{bc}{a+c}-\frac{bc}{c-a}$）
∵4$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=$\overrightarrow{QP}$，
∴横坐标满足-$\frac{ac}{c+a}$-$\frac{ac}{c-a}$=4（-c+$\frac{ac}{c+a}$），
即$\frac{-2a{c}^{2}}{（c+a）（c-a）}$=$\frac{-4{c}^{2}}{c+a}$，
即$\frac{a}{c-a}$=2，
则a=2c-2a，
则2c=3a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$

点评 本题主要考查双曲线的离心率的计算，根据条件求出直线方程，联立方程组求出交点坐标，利用向量关系建立a，c的方程是解决本题的关键．考查学生的计算能力．