Question

15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （I）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（II）由以上可得，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的最值．

解答 解：（I）根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，
可得$\frac{3}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{13π}{12}$-$\frac{π}{3}$，求得ω=2，∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
再根据五点法作图可得2•$\frac{π}{3}$+φ=π，求得φ=$\frac{π}{3}$．
（II）由以上可得，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，
2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
当2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$时，即x=-$\frac{π}{4}$，函数f（x）取得最小值为-$\frac{1}{2}$．
当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，即x=$\frac{π}{12}$，函数f（x）取得最大值为1．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的最值，属于基础题．