Question

20．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E是PB中点，CD=PD=AD=$\frac{1}{2}$AB．
（Ⅰ）求证：CE⊥AB；
（Ⅱ）若CE=$\sqrt{3}$，AB=4，求三棱锥A-PCD的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AP的中点F，连结DF，EF，证明四边形EFDC为平行四边形，推出CE∥DF，利用AB⊥平面PAD，证明CE⊥AB．
（Ⅱ）设点O为PD的中点，连结AO，如图所示，证明△ADP为正三角形，推出AD⊥PD，求出AD=$\sqrt{3}$，证明AO⊥平面PCD．然后求出三棱锥A-PCD的高．

解答 （Ⅰ）证明：取AP的中点F，连结DF，EF，如图所示．
因为点E是PB中点，
所以EF∥AB且EF=$\frac{1}{2}AB$．（1分）
又因为AB∥CD且CD=$\frac{1}{2}AB$，
所以EF∥CD且EF=CD，（2分）
所以四边形EFDC为平行四边形，
所以CE∥DF，（3分）
因为AB⊥平面PAD，DF?平面PAD，
所以AB⊥DF．（4分）
所以CE⊥AB．（5分）
（Ⅱ）解：设点O为PD的中点，连结AO，如图所示，
因为BC=$\sqrt{3}$，AB=4，
由（Ⅰ）知，DF=$\sqrt{3}$，（6分）
又因为AB=4，所以PD=AD=2，
所以AP=2AF=2$\sqrt{A{D}^{2}-D{F}^{2}}$=2$\sqrt{4-3}$=2，（7分）
所以△ADP为正三角形，（8分）
所以AD⊥PD，且AD=$\sqrt{3}$．（9分）
因为AB⊥平面PAD，AB∥CD，
所以CD⊥平面PAD．（10分）
因为AD?平面PAD，
所以CD⊥AO，（11分）
又因为PD∩CD=D，所以AO⊥平面PCD．
所以三棱锥A-PCD的高为$\sqrt{3}$．（12分）

点评 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及三棱锥的高等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．