Question

5．已知关于x的方程$\sqrt{1-{x}^{2}}$=x+m没有实数根，则m的取值范围是m＞$\sqrt{2}$，或m＜-1．

Answer 1

分析 设f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$和y=x+m，利用数形结合先求出方程$\sqrt{1-{x}^{2}}$=x+m有实数根的取值范围，即可得到结论．

解答 解：设f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$和y=x+m，
则f（x）的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆的上半部分，
作出函数f（x）的图象如图
当直线y=x+m经过点A（1，0）时，1+m=0，得m=-1，
当直线y=x+m在第二象限与圆相切时，m＞0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=1，得|m|=$\sqrt{2}$，即m=±$\sqrt{2}$，
∵m＞0，∴m=$\sqrt{2}$，
则方程$\sqrt{1-{x}^{2}}$=x+m有实数根，
则-1≤m≤$\sqrt{2}$，
则若方程没有实数解，
则m＞$\sqrt{2}$，或m＜-1，
故答案为：m＞$\sqrt{2}$，或m＜-1

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合进行转化，先求出两个函数有交点的取值范围，然后进行转化求解是解决本题的关键．