Question

13．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．       
（Ⅰ）若PB=1，求PA；
（Ⅱ）若∠APB=150°，求tan∠PBA．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得∠PBC=60°，可得∠PBA=30°，在△PBA中，由余弦定理即可得出．
（II）设∠PBA=α，由已知得∠PCB=α，PB=2sinα，在△PBA中，由正弦定理得$\frac{{2\sqrt{3}}}{sin150°}=\frac{2sinα}{{sin（{30°-α}）}}$，化简整理即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知得∠PBC=60°，∴∠PBA=30°，
在△PBA中，由余弦定理得$P{A^2}={（{2\sqrt{3}}）^2}+1-2×2\sqrt{3}×1×cos30°=7$，
∴$PA=\sqrt{7}$．
（Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得∠PCB=α，PB=2sinα，
在△PBA中，由正弦定理得$\frac{{2\sqrt{3}}}{sin150°}=\frac{2sinα}{{sin（{30°-α}）}}$，化简得$\sqrt{3}cosα$=4sinα，
∴tanα=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴tan∠PBA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．