Question

18．若函数y₁=x₁lnx₁，函数y₂=x₂-3，则（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值为2．

Answer 1

分析 利用导数研究曲线的切线及其平行线之间的斜率关系、点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：令f（x）=xlnx，g（x）=x-3，
f′（x）=lnx+1，令lnx₀+1=1，解得x₀=1．
∴可得y=x与曲线f（x）=xlnx相切于点P（1，0），与g（x）=x-3平行，
∴点P到直线g（x）=x-3的距离d的平方即为所求，
d=$\frac{|1-0-3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查了利用导数研究曲线的切线及其平行线之间的斜率关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．