Question

6．已知函数f（x）=-$\frac{{x}^{2}+4x+7}{x+1}$，g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$，实数a，b满足a＜b＜-1，若?x₁∈[a，b]，?x₂∈（0，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，则b-a的最大值为（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 求出g（x）_max=g（1）=3，令t=x-1（t＜0），设h（t）=-2-（t-$\frac{4}{t}$），作函数y=f（t）的图象如图所示，由f（t）=3得t=-1或t=-4，即可得出结论．

解答 解：∵g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$，
∴g′（x）=$\frac{（1+x）（1-x）}{x}$，
∴0＜x＜1时＜X，g′（x）＞0；x＞1时，g′（x）＜0，
∴g（x）_max=g（1）=3．
f（x）=-$\frac{{x}^{2}+4x+7}{x+1}$=-2+（-x-1-$\frac{4}{x+1}$），
令t=x+1（t＜0），设h（t）=-2+（-t-$\frac{4}{t}$），作函数y=h（t）的图象如图所示，
由f（t）=3得t=-1或t=-4，
∴b-a的最大值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的最大值，考查数形结合的数学思想，属于中档题．