Question

11．若sinα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，β=arccos（-$\frac{\sqrt{5}}{5}$），0＜α＜$\frac{π}{2}$，求证：α+β=$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 先由得：β=arccos（-$\frac{\sqrt{5}}{5}$），得到cosβ=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{π}{2}$＜β＜π，再利用同角三角函数的基本关系和α、β的范围，求得cosα和cosβ的值，进而利用余弦函数的两角和公式求得答案．

解答 证明：∵sinα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$＜$\frac{1}{2}$＜sin$\frac{π}{6}$，0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴0＜α＜$\frac{π}{6}$
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∵β=arccos（-$\frac{\sqrt{5}}{5}$），
∴cosβ=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{π}{2}$＜β＜π，
∴sinβ=$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$×（-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）-$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜α+β＜$\frac{7π}{6}$
∴α+β=$\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查了反三角函数的运用、同角三角函数的基本关系的应用和两角和公式求值．重点考查了三角函数基础知识的运用．属于中档题．