Question

2．在数列{a_n}中，a₁=1，（n+3）a_n+1=2na_n（n∈N₊），记b_n=n（n+1）（n+2）a_n．
（1）求证：{b_n}为等比数列；
（2）设c_n=$\frac{{a}_{n}}{3•{2}^{n}}$，且数列{c_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由已知（n+3）a_n+1=2na_n，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{2n}{n+3}$，再由b_n=n（n+1）（n+2）a_n，得b_n+1=（n+1）（n+2）（n+3）a_n+1，作比后可得{b_n}为公比是2的等比数列；
（2）求出等比数列{b_n}的通项公式，代入b_n=n（n+1）（n+2）a_n求得a_n．进一步代入c_n=$\frac{{a}_{n}}{3•{2}^{n}}$，然后利用裂项相消法求得数列{c_n}的前n项和为S_n，放缩得答案．

解答 证明：（1）由（n+3）a_n+1=2na_n，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{2n}{n+3}$，
又b_n=n（n+1）（n+2）a_n，
∴b_n+1=（n+1）（n+2）（n+3）a_n+1，
则$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{（n+1）（n+2）（n+3）{a}_{n+1}}{n（n+1）（n+2）{a}_{n}}$=$\frac{n+3}{n}•\frac{2n}{n+3}=2$，
∴{b_n}为公比是2的等比数列；
（2）∵{b_n}为公比是2的等比数列，且b₁=6a₁=6，
∴${b}_{n}=n（n+1）（n+2）{a}_{n}=6•{2}^{n-1}=3•{2}^{n}$，
则${a}_{n}=\frac{3•{2}^{n}}{n（n+1）（n+2）}$，
∴c_n=$\frac{{a}_{n}}{3•{2}^{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{2}[\frac{1}{n（n+1）}-\frac{1}{（n+1）（n+2）}]$，
则${S}_{n}=\frac{1}{2}[\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3}+\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}-\frac{1}{（n+1）（n+2）}]$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{2（n+1）（n+2）}＜\frac{1}{4}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．