Question

12．已知{a_n}是首项为1，公比为q的等比数列，且a₄，a₆，a₅成等差数列．
（Ⅰ）求{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）设{b_n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为T_n，当n≥2时，比较T_n与b_n的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过化简2a₆=a₄+a₅可知2q²-q-1=0，解方程可知q=1或q=-$\frac{1}{2}$，分两种情况利用等比数列的求和公式计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知，分q=1或q=-$\frac{1}{2}$两种情况讨论即得结论．

解答 解：（Ⅰ）由题设2a₆=a₄+a₅，
又∵a₁=1≠0，
∴2q²-q-1=0，
解得：q=1或q=-$\frac{1}{2}$，
①若q=1时，S_n=n；
②若$q=-\frac{1}{2}$时，${S_n}=\frac{{2（{1-{{（{-\frac{1}{2}}）}^n}}）}}{3}$；
（Ⅱ）由（I）可知，
①若q=1时，${T_n}=\frac{{{n^2}+3n}}{2}$，
当n≥2时，${T_n}-{b_n}={T_{n-1}}=\frac{{（{n-1}）（{n+2}）}}{2}$，
故T_n＞b_n；
②若$q=-\frac{1}{2}$时，${T_n}=\frac{{-{n^2}+9n}}{4}$，
当n≥2时，${T_n}-{b_n}={T_{n-1}}=\frac{{（{n-1}）（{10-n}）}}{4}$，
故对于n∈N₊，当2≤n≤9时，T_n＞b_n；
当n=10时，T_n=b_n；当n≥11时，T_n＜b_n．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．