Question

3．已知等差数列{a_n}满足：a_n+1＞a_n（n∈N^*），a₁=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，a_n+2log₂b_n=-1．
（Ⅰ）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{a_n•b_n}的前n项和T_n＜3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设d为等差数列{a_n}的公差，且d＞0，利用（2+d）²=2（4+2d）计算可知d=2，进而可得等差数列的通项公式；利用a_n=-1-2log₂b_n计算可知b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（Ⅱ）通过（I）可知a_n•b_n=（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 （Ⅰ）解：设d为等差数列{a_n}的公差，且d＞0，
∵a₁=1，a₂=1+d，a₃=1+2d，且分别加上1，1，3成等比数列，
∴（2+d）²=2（4+2d），即d²=4，
解得：d=2或d=-2（舍），
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
又因为a_n=-1-2log₂b_n，所以log₂b_n=-n，即b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（Ⅱ）证明：由（I）可知a_n•b_n=（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
则${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+…+\frac{2n-1}{2^n}$，①
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^4}+…+\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=1+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴${T_n}=1+\frac{{1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{2n-1}{2^n}=3-\frac{1}{{{2^{n-2}}}}-\frac{2n-1}{2^n}=3-\frac{2n+3}{2^n}＜3$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．