Question

15．数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n+a_n=-$\frac{1}{2}{n^2}-\frac{3}{2}$n+1（n∈N^*）
（1）设b_n=a_n+n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过S_n+a_n=-$\frac{1}{2}{n^2}-\frac{3}{2}$n+1与S_n-1+a_n-1=-$\frac{1}{2}$（n-1）²-$\frac{3}{2}$（n-1）+1作差可知2a_n-a_n-1=-n-1，进而变形得2（a_n+n）=a_n-1+（n-1），从而可知数列{b_n}是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列；
（2）通过（1）可知b₁=$\frac{1}{2}$，进而可知a_n=-n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用分组求和法计算即得结论．

解答 （1）证明：∵S_n+a_n=-$\frac{1}{2}{n^2}-\frac{3}{2}$n+1，
∴当n≥2时，S_n-1+a_n-1=-$\frac{1}{2}$（n-1）²-$\frac{3}{2}$（n-1）+1，
两式相减得：2a_n-a_n-1=-n-1，
变形得：2（a_n+n）=a_n-1+（n-1），
又∵b_n=a_n+n，
∴数列{b_n}是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列；
（2）解：由（1）可知S₁+a₁=-$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$+1=-1，即a₁=-$\frac{1}{2}$，
又∵b₁=a₁+1=-$\frac{1}{2}$+1=$\frac{1}{2}$，
∴b_n=a_n+n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，a_n=-n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S_n=-（1+2+…+n）+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=-$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分组求和法，注意解题方法的积累，属于中档题．