Question

7．已知公差大于零的等差数列{a_n}满足：a₃a₄=48，a₃+a₄=14．
（Ⅰ） 求数列{a_n}通项公式；
（Ⅱ） 记${b_n}={（\sqrt{2}）^{a_n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过联立（a₁+2d）（a₁+3d）=48、a₁+2d+a₁+3d=14，计算可知d=a₁=2，进而利用等差数列的通项公式计算可得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）b_n=2ⁿ，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）由公差d＞0及（a₁+2d）（a₁+3d）=48、a₁+2d+a₁+3d=14，
解得：d=2或d=-2（舍），a₁=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）有${b_n}={（\sqrt{2}）^{a_n}}$=$（\sqrt{2}）^{2n}$=2ⁿ，
所以数列{b_n}是等比数列，首项b₁=q=2，
于是T_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．