Question

16．已知f（x）=x²-a|x-1|+b（a＞0，b＞-1）
（1）若b=0，a＞2，求f（x）在区间[0，2]内的最小值m（a）；
（2）若f（x）在区间[0，2]内不同的零点恰有两个，且落在区间[0，1），（1，2]内各一个，求a-b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论当0≤x≤1时，当1＜x≤2时，同时对a讨论，可得f（x）的单调性，可得最小值；
（2）将f（x）写成分段函数式，讨论当0≤x＜1时，当1＜x≤2时，由函数的零点存在定理，可得不等式组，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）b=0，a＞2时，f（x）=x²-a|x-1|，
当0≤x≤1时，f（x）=x²+ax-a，且在[0，1]递增，
可得f（0）取得最小值-a；
当1＜x≤2时，f（x）=x²-ax+a，$\frac{a}{2}$＞1，
当a＞4时，$\frac{a}{2}$＞2，在（1，2]递减，可得最小值f（2）=4-a；
当2＜a≤4时，1＜$\frac{a}{2}$≤2，可得f（$\frac{a}{2}$）取得最小值，且为a-$\frac{{a}^{2}}{4}$．
由-a＜4-a，a-$\frac{{a}^{2}}{4}$-（-a）=$\frac{a（8-a）}{4}$＞0（2＜a≤4），
即有a-$\frac{{a}^{2}}{4}$＞-a．
综上可得，m（a）=-a；
（2）由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax+b-a，0≤x＜1}\\{{x}^{2}-ax+a+b，1＜x≤2}\end{array}\right.$，
当0≤x＜1时，f（x）递增，可得f（0）f（1）≤0，
即为（b-a）（1+b）≤0①
当1＜x≤2时，f（x）有一个零点，可得f（1）f（2）≤0或f（$\frac{a}{2}$）=0（2＜a≤4），
即为（1+b）（4-a+b）≤0或b=$\frac{{a}^{2}}{4}$-a②
由$\left\{\begin{array}{l}{1+b≥0}\\{b-a≤0}\\{4-a+b≤0}\end{array}\right.$或a-b=$\frac{8a-{a}^{2}}{4}$（2＜a≤4），
可得a-b≥4或3＜a-b≤4，
综上可得a-b的范围是（3，+∞）．

点评 本题考查分段函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查函数的零点问题的解法，注意运用零点存在定理和不等式的解法，属于中档题．