Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列递推式直接利用累加法求得数列{a_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=a_n+1，然后利用等比数列的前n项和求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由a_n+1-a_n=2ⁿ ，且a₁=1，
得${a}_{2}-{a}_{1}={2}^{1}$，${a}_{3}-{a}_{2}={2}^{2}$，${a}_{4}-{a}_{3}={2}^{3}$，…，${a}_{n}-{a}_{n-1}={2}^{n-1}$（n≥2），
累加得：${a}_{n}={a}_{1}+{2}^{1}+{2}^{2}+…+{2}^{n-1}$=$1+2+…+{2}^{n-1}=\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n}-1$（n≥2），
当n=1时，上式成立，
∴${a}_{n}={2}^{n}-1$；
（2）b_n=a_n+1=2ⁿ-1+1=2ⁿ，
∴T_n =2¹+2²+…+2ⁿ=$\frac{2×（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n+1}-2$．

点评 本题考查数列的求和，训练了累加法求数列的通项公式，考查了等比数列前n项和的求法，是中档题．