Question

10．在等比数列{a_n}中，a₁•a₂•a₃=27，a₂•a₄=81
（1）求a₁和公比q；
（2）若{a_n}各项均为正数，求数列{n•a_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由已知，结合等比数列的性质可求a₂，a₄，由${q}^{2}=\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}}$可求q，进而可求a₁；
（2）由a_n＞0，结合（1）可得，nan=n•3n-1，Sn=1•30+2•31+3•32+…+n•3n-1，利用错位相减可求和．

解答 解：由等比数列的性质可得，a₁•a₂•a₃=${a}_{2}^{3}$=27，
a₂=3，
${a}_{2}•{q}^{2}={a}_{4}$，a₂•a₄=81，
解得：a₄=27，q=±3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-1}\\{q=-3}\end{array}\right.$，
（2）由a_n＞0，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=3}\end{array}\right.$，
${a}_{n}={3}^{n-1}$，$n{a}_{n}=n•{3}^{n-1}$，
∴S_n=1•30+2•31+3•32+…+n•3n-1，
∴3S_n=1•3+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
两式相减：-2S_n=3⁰+3¹+…+3^n-1-n•3ⁿ=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-n•3n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$-n•3n
∴S_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n}+1}{4}$．

点评 本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，错位相减求解数列和是数列求和的重点与难点，要注意掌握，属于中档题．