Question

17．已知{a_n}是递增的等差数列，且满足a₂a₄=21，a₁+a₅=10．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}前n项和C_n=a_n+1，数列{b_n}满足b_n=2ⁿc_n（n∈N^*），求{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）通过设等差数列{a_n}的公差为d，则依题设知d＞0，利用a₁+a₅=2a₃=10可知a₃=5，进而利用a₂a₄=21可知d=2，进而计算可得结论；
（2）通过（1）知C_n=a_n+1=2n，通过令n=1可得c₁=2，利用C_n=2n与C_n-1=2（n-1）作差，进而计算可知数列{b_n}是首项为4、公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则依题设知d＞0，
由a₁+a₅=10，可得2a₃=10，即a₃=5，
由a₂a₄=21，得（5-d）（5+d）=21，可得d=±2，
∵{a_n}是递增的等差数列，
∴d=2，a₁=5-2d=1，
∴a_n=2n-1；
（2）由（1）知C_n=a_n+1=2n，可得c₁=2，C_n-1=2（n-1），
两式相减可得c_n=2（n∈N^*），
∴b_n=2ⁿ⁺¹，
所以数列{b_n}是首项为4、公比为2的等比数列，
所以前n项和S_n=$\frac{4（1-2n）}{1-2}$=2ⁿ⁺²-4．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．