Question

7．设f（x）是定义在R上且f（x+2）=f（2-x），f（7-x）=f（7+x），在闭区间[0，7]上，使f（x）=0的x值仅为1和3．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）试求方程f（x）=0在闭区间[-2016，2016]上根的个数，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据条件，可知函数的周期为10，判断f（x）与f（-x）的关系，得出结论；
（2）根据函数的周期性可判断函数在[0，2016]有404个 在[-2016，0]也有404个，所以在[-2016，2016]有808个根．

解答 解：（1）f（2-x）=f（2+x），
∴f（x）的对称轴为x=2，
f（7-x）=f（2-（-5+x））=f（2+（-5+x））=f（-3+x）=f（7+x） 
所以f（x-3）=f（x+7）
f（x）=f（x-3+3）=f（x+7+3）=f（x+10）
∴f（x）=f（x+10）
以10为周期的周期函数．
f（-x）=f（2-（x+2））=f（2+x+2）=f（x+4）≠f（x+10）
∴函数不是偶函数 
因为[0，7]上只有f（1）=f（3）=0 
所以f（0）≠0，所以不是奇函数 
∴f（x）是非奇非偶函数；
（2）在[0，7]内有两个根，
∴函数以10为周期，那么在[0，2016]有404个 
在[-2016，0]也有404个，所以在[-2016，2016]有808个根

点评 考查了抽象函数的周期性判断和利用周期性解决实际问题．属于常规题型，应熟练掌握．