Question

17．已知α为锐角，则（1+$\frac{1}{sinα}$）（1+$\frac{1}{cosα}$）的最小值是（　　）

• A． 3-2$\sqrt{2}$
• B． 3$+2\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}-1$
• D． $\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 由α的范围和三角函数可得t=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，sinαcosα=$\frac{1}{2}$（t²-1），换元可得（1+$\frac{1}{sinα}$）（1+$\frac{1}{cosα}$）=1+$\frac{2}{t-1}$，由函数的单调性可得．

解答 解：∵α为锐角，即0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴t=sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，
平方可得t²=1+2sinαcosα，
∴sinαcosα=$\frac{1}{2}$（t²-1），
∴（1+$\frac{1}{sinα}$）（1+$\frac{1}{cosα}$）=1+$\frac{1}{cosα}$+$\frac{1}{sinα}$+$\frac{1}{sinαcosα}$
=1+$\frac{sinα+cosα+1}{sinαcosα}$=1+$\frac{t+1}{\frac{1}{2}（{t}^{2}-1）}$=1+$\frac{2}{t-1}$，
∵y=1+$\frac{2}{t-1}$在t∈（1，$\sqrt{2}$]单调递减，
∴当t=$\sqrt{2}$时，原式取最小值1+$\frac{2}{\sqrt{2}-1}$=3+2$\sqrt{2}$
故选：B

点评 本题考查三角函数的最值，涉及换元法和函数的单调性，属中档题．