Question

5．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线与椭圆交于点A，B，若AB中点为（1，-$\frac{1}{2}$），且直线AB的倾斜角为45°，则椭圆方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{2{x}^{2}}{9}$+$\frac{4{y}^{2}}{9}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{2{y}^{2}}{9}$=1

Answer 1

分析 通过点斜式可知直线AB方程为x-y-$\frac{3}{2}$=0，从而令y=0可知a²-b²=$\frac{9}{4}$，另一方面，通过联立椭圆与直线AB的方程，利用AB中点为（1，-$\frac{1}{2}$）、中点坐标公式及韦达定理可知a²=2b²，进而可得分别求出a²、b²，进而可得结论．

解答 解：∵AB中点为（1，-$\frac{1}{2}$），且直线AB的倾斜角为45°，
∴直线AB方程为：y-（-$\frac{1}{2}$）=x-1，即x-y-$\frac{3}{2}$=0，
又∵椭圆右焦点F在直线AB上，
∴F（$\frac{3}{2}$，0），即a²-b²=$\frac{9}{4}$，①
联立椭圆与直线AB的方程，消去y整理得：
（a²+b²）x²-3a²x+a²（$\frac{9}{4}$-b²）=0，
∵AB中点为（1，-$\frac{1}{2}$），
∴2=$\frac{3{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，即a²=2b²，②
联立①②可知：a²=$\frac{9}{2}$，b²=$\frac{9}{4}$，
∴椭圆方程为$\frac{2{x}^{2}}{9}$+$\frac{4{y}^{2}}{9}$=1，
故选：C．

点评 本题考查椭圆的简单性质，涉及直线的点斜式方程、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．