Question

10．已知定义在R上的函数f（x）满足条件：
①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；
②函数f（x+2）的关于y轴对称
③对任意的x₁，x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）．
则下列结论正确的是（　　）

• A． f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）
• B． f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）
• C． f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）
• D． f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）

Answer 1

分析 根据条件判断函数的周期性和对称性，利用函数对称性，周期性和单调性之间的关系将函数值进行转化比较即可得到结论．

解答 解：∵对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；
∴函数是4为周期的周期函数，
∵函数f（x+2）的关于y轴对称
∴函数函数f（x）的关于x=2对称，
∵对任意的x₁，x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）．
∴此时函数在[0，2]上为增函数，
则函数在[2，4]上为减函数，
则f（7）=f（3），
f（6.5）=f（2，5），
f（4.5）=f（0.5）=f（3.5），
则f（3.5）＜f（3）＜f（2.5），
即f（4.5）＜f（7）＜f（6.5），
故选：D

点评 本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，根据条件判断函数的周期性和对称性，和单调性之间的关系是解决本题的关键．