Question

2．在△ABC中，AB=3，AC=1，且∠BAC=$\frac{2π}{3}$，点D是边BC上一点；
（Ⅰ）若点D是BC的中点，求AD的值；
（Ⅱ）若点D是角A的平分线与BC的交点，求AD的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延长AD至E，使AD=DE，连接BE，CE，得出四边形ABEC是平行四边形；
利用余弦定理求出AE的长，即得中线AD；
（Ⅱ）先利用余弦定理求出BC的长，再利用角平分线定理求出BD的长，
最后利用余弦定理列出方程求出角平分线AD的值．

解答 解：（Ⅰ）延长AD至E，使AD=DE，连接BE，CE，如图所示，
△ABC中，AB=3，AC=1，且∠BAC=$\frac{2π}{3}$，
由点D是BC的中点，得BD=CD，
∴四边形ABEC是平行四边形；
∴∠ABC=π-∠BAC=$\frac{π}{3}$，
∴AE²=AB²+BE²-2AB•BE²•cos∠ABE=3²+1²-2×3×1×cos$\frac{π}{3}$=7，
∴AE=$\sqrt{7}$∴AD=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{7}}{2}$；
（Ⅱ）如图2所示
△ABC中，AB=3，AC=1，且∠BAC=$\frac{2π}{3}$，
∴BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC=3²+1²-2×3×1×cos$\frac{2π}{3}$=13，
∴BC=$\sqrt{13}$；
又AD平分∠BAC，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{3}{1}$，
∴BD=$\frac{3}{4}$BC=$\frac{3}{4}$$\sqrt{13}$，
∴BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos∠BAD，即${（\frac{3}{4}\sqrt{13}）}^{2}$=3²+AD²-2×3•AD•cos$\frac{π}{3}$，
∴AD²-3AD+$\frac{27}{16}$=0；
解得AD=$\frac{3}{4}$或AD=$\frac{9}{4}$（不满足AD＜AC，应舍去），
∴AD的值是$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了三角形的中线以及平分线的应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．