Question

14．设n∈N^*，数列{a_n}满足a₂+a₃=8，a_n+1=a_n+2．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）a_n+1-a_n=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}-{a}_{2}=2}\\{{a}_{3}+{a}_{2}=8}\end{array}\right.$，解得：a₃=5，a₂=3，a₁=1
数列{a_n}是1为首项，以2为公差的等差数列，
a_n=2n-1，
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+3）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=$\frac{1}{4}$[（1-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+3}$）]
=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
=$\frac{4{n}^{2}+5n}{3（2n+1）（2n+3）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．